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【编程之美】2.6精确表达浮点数

时间:2021-07-01 10:21:17 帮助过:32人阅读

【问题描述】: 在计算机中,使用float或者double来存储小数是不能得到精确的。如果你希望得到精确计算结果,最好是用分数形式来表示小数。有限小数或者无限循环小数都可以转化为分数。比如: 0.9 = 9/10 0.333(3)= 1/3(括号中的数字表示是循环节) 当然


【问题描述】:

在计算机中,使用float或者double来存储小数是不能得到精确值的。如果你希望得到精确计算结果,最好是用分数形式来表示小数。有限小数或者无限循环小数都可以转化为分数。比如:
0.9 = 9/10
0.333(3)= 1/3(括号中的数字表示是循环节)
当然一个小数可以用好几种分数形式来表示。如:
0.333(3)= 1/3 = 3/9
给定一个有限小数或者无限循环小数,你能否以分母最小的分数形式来返回这个小数呢?如果输入为循环小数,循环节用括号标记出来。下面是一些可能的输入数据,如0.3、0.30、0.3(000)、0.3333(3333)、……


解法:

拿到这样一个问题,我们往往会从最简单的情况入手,因为所有的小数都可以分解成一个整数和一个纯小数之和,不妨只考虑大于0,小于1的纯小数,且暂时不考虑分子和分母的约分,先设法将其表示为分数形式,然后再进行约分。题目中输入的小数,要么为有限小数X=0.a1a2an,要么为无限循环小数X=0.a1a2anb1b2bm),X表示式中的字母a1a2anb1b2bm都是0~9的数字,括号部分(b1b2bm)表示循环节,我们需要处理的就是以上两种情况。

对于有限小数X=0.a1a2an来说,这个问题比较简单,X就等于(a1a2an/10n

对于无限循环小数X=0.a1a2anb1b2bm)来说,其复杂部分在于小数点后同时有非循环部分和循环部分,我们可以做如下的转换:

X= 0.a1a2anb1b2bm

10n* X= a1a2an.b1b2bm

10n* X= a1a2an+0.b1b2bm

X =a1a2an+0.b1b2bm))/10n

对于整数部分a1a2an,不需要做额外处理,只需要把小数部分转化为分数形式再加上这个整数即可。对于后面的无限循环部分,可以采用如下方式进行处理:

Y=0. b1b2bm,那么

10m *Y=b1b2bm.b1b2bm

10m *Y=b1b2bm+0.b1b2bm

10m *Y-Y=b1b2bm

Y= b1b2bm/10m-1

Y代入前面的X的等式可得:

X=a1a2an+Y/10n

=a1a2an+ b1b2bm/10m-1))/10n

=((a1a2an*10m-1+b1b2bm))/((10m-1*10n

至此,便可以得到任意一个有限小数或无限循环小数的分数表示,但是此时分母未必是最简的,接下来的任务就是让分母最小,即对分子和分母进行约分,这个相对比较简单。对于任意一个分数A/B,可以简化为(A/GcdA,B))/B/GcdA,B)),其中Gcd函数为求AB的最大公约数,这就涉及本书中的算法(2.7节“最大公约数问题”),其中有很巧妙的解法,请读者阅读具体的章节,这里就不再赘述。

综上所述,先求得小数的分数表示方式,再对其分子分母进行约分,便能够得到分母最小的分数表现形式。

例如,对于小数0.333),根据上述方法,可以转化为分数:

0.333

=3 *102-1+ 33/((102-1*10

=3*99+33/990

= 1 / 3

对于小数0. 285714285714),我们也可以算出:

0. 285714285714

= 285714 *106-1+ 285714/ ((106-1*106

= 285714*999999 +285714/ 999999000000

= 285714 / 999999

= 2/7


以下给出代码,简单实现:

void Cal(char* str)
{
	char *p=str;
	char *q=str,*q1=str;//q和q1分别存储(和)的指针
	while(*p!='\0')
	{
		if(*p=='(')
		{
			q=p;
		}
		if(*p==')')
		{
			q1=p;
		}
		p++;
	}
	if(q==q1)
	{
		cout<<"有限小数"<

为了更完善,分两种情况:

1、对于小数的情况,不用定义数组形式:

#include 

using namespace std;

long long gcd(long long a, long long b)
{
	if (a < b)
	{
		long long tmp = a;
		a = b;
		b = tmp;
	}
	int i, k=0;
	while (b!=0)
	{
		if ((a&1) == 0)
		{
			if ((b&1) == 0)
			{
				// a,b均是偶数,f(a,b)=2*f(a>>1,b>>1)
				a >>= 1;
				b >>= 1;
				k++;
			}
			else
				// a为偶数,b为奇数,f(a,b)=f(a>>1,b)
				a >>= 1;
		}
		else
		{
			if ((b&1) == 0)
				// a为奇数,b为偶数,f(a,b)=f(a,b>>1)
				b >>= 1;
			else
				// a,b均是奇数,f(a,b)=f(a-b,b)
				a = a-b;
		}
		if (a < b)
		{
			long long tmp = a;
			a = b;
			b = tmp;
		}
	}
	return a << k;
}

int main()
{
	long long a=0, b=0, c=0;
	// 整数部分c,非循环小数a,循环小数b
	scanf("%d.%d(%d)",&c, &a, &b);
	if (a==0 && b==0)
		cout << c;
	else
	{
		// 分子up,分母down
		long long up = c;
		long long down = 1;
		long long ta = a;
		while (ta)
		{
			down *= 10;
			ta /= 10;
		}
		up = c*down+a;
		if (b!=0)
		{
			long long wb = 1;
			long long tb = b;
			while (tb)
			{
				wb *= 10;
				tb /= 10;
			}
			up = up*(wb-1)+b;
			down = down*(wb-1);
		}
		long long fac = gcd(up, down);
		cout << up/fac << "/" << down/fac << endl;
	}
}


2、用于大整数,定义了大整数类型,以及对应的加减乘除、比较移位运算

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

// 大整数类型
#define MAXLEN 1000
struct HP {int len, s[MAXLEN];};

void PrintHP(HP x) 
{
	for (int i=x.len; i>=1; i--)
		cout << x.s[i];
}

// 字符串转大整数
void Str2HP(const char *s, HP &x)
{
	x.len = strlen(s);
	for (int i=1; i<=x.len; i++)
		x.s[i] = s[x.len-i] - '0';
	if (x.len == 0)
	{
		x.len = 1;
		x.s[1] = 0;
	}
}

// 大整数的加法
void Plus(const HP a, const HP b, HP &c)
{
	int i; c.s[1] = 0;
	// 大整数a,b的加法操作和结果c的进位操作
	for (i=1; i<=a.len || i<=b.len || c.s[i]; i++)
	{
		if (i <= a.len) c.s[i] += a.s[i];
		if (i <= b.len) c.s[i] += b.s[i];
		c.s[i+1] = c.s[i]/10; c.s[i] %= 10;
	}
	// 退出循环到原因是c.s[i]==0,所以取前一位
	c.len = i-1; 
	if (c.len == 0) c.len = 1;
}

// 大整数的减法
void Subtract(const HP a, const HP b, HP &c)
{
	int i, j;
	for (i=1,j=0; i<=a.len; i++)
	{
		// j表示是否要对高位进行借位
		c.s[i] = a.s[i] - j;
		if (i <= b.len) c.s[i] -= b.s[i];
		if (c.s[i] < 0) 
		{
			// 向高位借位,补10
			j = 1;
			c.s[i] += 10;
		}
		else j = 0;
	}
	c.len = a.len;
	while (c.len > 1 && !c.s[c.len]) c.len--;
}

// 大整数的比较
int HPCompare(const HP &x, const HP &y)
{
	if (x.len > y.len) return 1;
	if (x.len < y.len) return -1;
	int i = x.len;
	while (i>1 && (x.s[i]==y.s[i])) i--;
	return x.s[i] - y.s[i];
}

// 大整数的乘法
void Multi(const HP a, const HP b, HP &c)
{
	int i, j;
	// 对乘法结果赋初值,以方便之后的+=运算
	c.len = a.len + b.len;
	for (i=1; i<=c.len; i++) c.s[i] = 0;
	for (i=1; i<=a.len; i++)
		for (j=1; j<=b.len; j++)
			c.s[i+j-1] += a.s[i]*b.s[j];
	// 运算结果进位
	for (i=1; i1 && !c.s[i]) i--;
	c.len = i;
}

// 大整数的除法
void Divide(const HP a, const HP b, HP &c, HP &d)
{
	int i, j;
	// 用余数d存被除数a的前i位数据,用来多次减去除数b,以得到商c
	d.len = 1; d.s[1] = 0;
	for (i=a.len; i>0; i--)
	{
		if (!(d.len == 1 && d.s[1] == 0))
		{
			// i没移一位,余数d也移位
			for (j=d.len; j>0; j--)
				d.s[j+1] = d.s[j];
			d.len++;
		}
		d.s[1] = a.s[i];
		c.s[i] = 0;
		// 余数d大于除数b时,才可以进行减操作
		while ((j=HPCompare(d,b)) >= 0)
		{
			Subtract(d, b, d);
			c.s[i]++;
			if (j == 0) break;
		}
	}
	c.len = a.len;
	while (c.len > 1 && c.s[c.len] == 0)
		c.len--;
}
// 十进位右移
void RightShift(HP &x, int k)
{
	for (int i=1; i<=x.len-k; i++)
		x.s[i] = x.s[i+k];
	x.len -= k;
	if(x.len <= 0)
	{
		x.len = 1;
		x.s[1] = 0;
	}
}
// 十进位左移
void LeftShift(HP &x, int k)
{
	int i;
	for (i=x.len; i>=1; i--)
		x.s[i+k] = x.s[i];
	for (i=k; i>=1; i--)
		x.s[i] = 0;
	x.len += k;
}
// 求大整数的最大公约数
void GCD(HP a, HP b, HP &c)
{
	if (b.len == 1 && b.s[1] == 0)
	{
		c.len = a.len;
		memcpy(c.s, a.s, (a.len+1)*sizeof(int));
	}
	else
	{
		HP m, n;
		Divide(a, b, m, n);
		GCD(b, n, c);
	}
}

int main()
{
	string str;
	string strc, stra, strb;
	cin >> str;
	int posc = str.find('.');
	int posa = str.find('(');
	int posb = str.find(')');
	strc = str.substr(0, posc);
	if (posc < 0)
		cout << strc;
	else
	{	
		HP a, b, c;
		HP tmp; tmp.len = 1; tmp.s[1] = 1;
		// 整数部分
		Str2HP(strc.c_str(), c);
		stra = str.substr(posc+1, posa-posc-1);
		// 非循环部分
		Str2HP(stra.c_str(), a);
		// up分子,down分母
		HP up = c, down = tmp;
		// 乘以10^|a|
		LeftShift(down, stra.size());
		LeftShift(up, stra.size());
		Plus(up, a, up);
		if (posa >= 0)
		{
			strb = str.substr(posa+1, posb-posa-1);
			// 循环部分
			Str2HP(strb.c_str(), b);
			HP m = tmp;
			LeftShift(m, strb.size());
			Subtract(m, tmp, m);
			// 乘以10^(|b|-1)
			Multi(up, m, up);
			Plus(up, b, up);
			Multi(down, m, down);
		}
		// 求分子分母的最大公约数
		GCD(down, up, tmp);
		HP h;
		Divide(down, tmp, down, h);
		Divide(up, tmp, up, h);
		PrintHP(up); cout << "/";
		PrintHP(down); cout << endl;
	}
}

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