【编程之美】2.2不要被阶乘吓到

题目： 1：给定一个整数N，那么N的阶乘N！末尾有多少个0？例如N = 10，N！= 3628800，末尾有两个0. 2：求N！的二进制表示中最低位1的位置。 问题一： 题目解析： 这道题如果直接求N！的话也可以，不过万一溢出了怎么办？即使定义longlong类型的也不合适。那

题目：

1：给定一个整数N，那么N的阶乘N！末尾有多少个0？例如N = 10，N！= 3628800，末尾有两个0.

2：求N！的二进制表示中最低位1的位置。

问题一：

题目解析：

这道题如果直接求N！的话也可以，不过万一溢出了怎么办？即使定义longlong类型的也不合适。那么就要找寻其中的规律，一般这类题目都可以通过分析，找到一个很简单的方法。

思路一：

我们想想0是怎么来的？乘以10就增加一个0，而10可以通过2*5的来。好了，我们将N!表达式表达出来，看能获得多少个2*5。N! = 2^x * 3^y * 5^z... 由于2比5小，所以x比z要大。所以看N!中有多少个5就可以了。

int Count(int n)
{
    int num = 0;
    for(int i = 1;i < n;++i){
        int j = i;
        while(j%5 == 0){
            num++;
            j /= 5;
        }
    }
}

我们可以利用公式Z = [N/5] + [N/(5^2)] + [N/(5^3)] +....

这个公式表达什么意思呢？N/5表示从1-N中有多少个数是5的倍数，那么这些数，每一个都贡献一个5；好了但是对于25会贡献两个，在除以5的时候，已经算进去1个，那么N/(5^2)的时候，看看有多少是25的倍数，也算一下，这时将25中的另一个5给算进去了；同理对于75，当我们N/75的时候，正好把三个5全算进去……通过这个方法，更简化程序的实现。

int Count1(int n)
{
    int num = 0;
    while(n){
        num += n/5; //这种方法更简洁，避免了附设变量
        n = n/5;
    }
    return num;
}

问题二：

说白了，问题2跟问题1是一样的，求N!2的倍数。

思路一：

根据上题的情况，写出如下表达式求表达式N! = 2^x * 3^y * 5^z... 我们要求x的值为多少。也可以通过遍历1-N一个一个求解

int Count2(int n)
{
    int num = 0;
    for(int i =0;i < n;++i){
        int j = i;
        while(j%2 == 0){
            num++;
            j = j/2;
        }
    }
    return num;
}

//当然可以通过位来操作
int Count_2(int n)
{
    int num = 0;
    for(int i =0;i < n;++i){
        int j = i;
        while(!(j & 1)){
            num++;
            j = j >> 1;
        }
    }
    return num;
}

类似问题一中的公式，我们也可以写出Z = [N/2] + [N/(2^2)] + [N/(2^3)] +....

int Count3(int n)
{
    int num = 0;
    while(n){
        n = n >> 1;
        num += n;   //这句话写在下面，更好
    }
    return num;
}

N!含有质因数2的个数，还等于N减去N的二进制表示中1的数目。——这是一种巧妙的方法，是根据Z = [N/2] + [N/(2^2)] + [N/(2^3)] +....运算得到的，因为除以2，相当于右移一位，对于11011我们有：

Z = 1101 + 110 + 11 + 1 = (1000 + 100 + 1) + (100 + 10) + (10 +1) + 1

= 1111 + 111 + 1 = (10000 - 1) + (1000 - 1) + (10 - 1) + (1 - 1) = 11011 - (N二进制中1的个数)

相关题目：

给定整数n，判断它是否为2的方幂。

（2的方幂为2^X。所以表示为二进制的时候，只有一位为1，那么利用判断二进制的个数的方法来判断： n>0 && ((n && (n-1)) == 0)）