2015.2.27

贪心算法） 一、基本概念： 所谓贪心算法是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的仅是在某种意义上的局部最优解。 贪心算法没有固定的算法框架，算法设计的关键是贪心策略的选择。必须注意的是

贪心算法）
一、基本概念：

 所谓贪心算法是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的仅是在某种意义上的局部最优解。
 贪心算法没有固定的算法框架，算法设计的关键是贪心策略的选择。必须注意的是，贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。
所以对所采用的贪心策略一定要仔细分析其是否满足无后效性。

二、贪心算法的基本思路：
1.建立数学模型来描述问题。
2.把求解的问题分成若干个子问题。
3.对每一子问题求解，得到子问题的局部最优解。
4.把子问题的解局部最优解合成原来解问题的一个解。

三、贪心算法适用的问题
贪心策略适用的前提是：局部最优策略能导致产生全局最优解。
实际上，贪心算法适用的情况很少。一般，对一个问题分析是否适用于贪心算法，可以先选择该问题下的几个实际数据进行分析，就可做出判断。

四、贪心算法的实现框架
从问题的某一初始解出发；

    while （能朝给定总目标前进一步）
    { 
          利用可行的决策，求出可行解的一个解元素；
    }
    由所有解元素组合成问题的一个可行解；

五、贪心策略的选择
因为用贪心算法只能通过解局部最优解的策略来达到全局最优解，因此，一定要注意判断问题是否适合采用贪心算法策略，找到的解是否一定是问题的最优解。

例题：
问题一、活动安排问题
问题表述：
设有n个活动的集合E = {1,2,…,n}，其中每个活动都要求使用同一资源，如演讲会场等，而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。输入每个活动i都有一个要求使用该资源的起始时间si和一个结束时间fi,且si < fi 。如果选择了活动i，则它在半开时间区间[si, fi)内占用资源。若区间[si, fi)与区间[sj, fj)不相交，则称活动i与活动j是相容的。也就是说，当si >= fj或sj >= fi时，活动i与活动j相容。

由于输入的活动以其完成时间的非减序排列，所以算法greedySelector每次总是选择具有最早完成时间的相容活动加入集合A中。直观上，按这种方法选择相容活动为未安排活动留下尽可能多的时间。也就是说，该算法的贪心选择的意义是使剩余的可安排时间段极大化，以便安排尽可能多的相容活动。

算法greedySelector的效率极高。当输入的活动已按结束时间的非减序排列，算法只需O(n)的时间安排n个活动，使最多的活动能相容地使用公共资源。如果所给出的活动未按非减序排列，可以用O(nlogn)的时间重排。

例：设待安排的11个活动的开始时间和结束时间按结束时间的非减序排列如下：

算法greedySelector 的计算过程如下图所示。图中每行相应于算法的一次迭代。阴影长条表示的活动是已选入集合A的活动，而空白长条表示的活动是当前正在检查相容性的活动。

若被检查的活动i的开始时间Si小于最近选择的活动j的结束时间fi，则不选择活动i，否则选择活动i加入集合A中。 

贪心算法并不总能求得问题的整体最优解。但对于活动安排问题，贪心算法greedySelector却总能求得的整体最优解，即它最终所确定的相容活动集合A的规模最大。这个结论可以用数学归纳法证明。

实现代码（我还看不懂啊~~~~~~）：
        代码

/* 主题：活动安排问题
* 作者：chinazhangjie
* 邮箱：chinajiezhang@gmail.com
* 开发语言：C++
* 开发环境：Vicrosoft Visual Studio
* 时间: 2010.11.21
*/

#include 
#include 
#include 
using namespace std ;

struct ActivityTime
{
public:
    ActivityTime (int nStart, int nEnd) 
        : m_nStart (nStart), m_nEnd (nEnd) 
    { }
    ActivityTime ()
        : m_nStart (0), m_nEnd (0)
    { }
    friend 
    bool operator < (const ActivityTime& lth, const ActivityTime& rth) 
    {
        return lth.m_nEnd < lth.m_nEnd ;
    }
public:
    int m_nStart ;
    int m_nEnd ;
} ;

class ActivityArrange 
{
public:
    ActivityArrange (const vector& vTimeList) 
    {
        m_vTimeList = vTimeList ;
        m_nCount = vTimeList.size () ;
        m_bvSelectFlag.resize (m_nCount, false) ;
    }
    // 活动安排
    void greedySelector () 
    {
        __sortTime () ;
        // 第一个活动一定入内
        m_bvSelectFlag[0] = true ;    
        int j = 0 ;
        for (int i = 1; i < m_nCount ; ++ i) {
            if (m_vTimeList[i].m_nStart > m_vTimeList[j].m_nEnd) {
                m_bvSelectFlag[i] = true ;
                j = i ;
            }
        }

        copy (m_bvSelectFlag.begin(), m_bvSelectFlag.end() ,ostream_iterator<bool> (cout, " "));
        cout << endl ;
    }

private:
    // 按照活动结束时间非递减排序
    void __sortTime () 
    {
        sort (m_vTimeList.begin(), m_vTimeList.end()) ;
        for (vector::iterator ite = m_vTimeList.begin() ;
                ite != m_vTimeList.end() ; 
                ++ ite) {
            cout << ite->m_nStart << ", "<< ite ->m_nEnd << endl ;
        }
    }

private:
    vector    m_vTimeList ;    // 活动时间安排列表
    vector<bool>            m_bvSelectFlag ;// 是否安排活动标志
    int    m_nCount ;    // 总活动个数
} ;

int main()
{
    vector vActiTimeList ;
    vActiTimeList.push_back (ActivityTime(1, 4)) ;
    vActiTimeList.push_back (ActivityTime(3, 5)) ;
    vActiTimeList.push_back (ActivityTime(0, 6)) ;
    vActiTimeList.push_back (ActivityTime(5, 7)) ;
    vActiTimeList.push_back (ActivityTime(3, 8)) ;
    vActiTimeList.push_back (ActivityTime(5, 9)) ;
    vActiTimeList.push_back (ActivityTime(6, 10)) ;
    vActiTimeList.push_back (ActivityTime(8, 11)) ;
    vActiTimeList.push_back (ActivityTime(8, 12)) ;
    vActiTimeList.push_back (ActivityTime(2, 13)) ;
    vActiTimeList.push_back (ActivityTime(12, 14)) ;

    ActivityArrange aa (vActiTimeList) ;
    aa.greedySelector () ;
    return 0 ;
}

2.快速幂算法

Matrix qMPow(Matrix &A, int n)
{
    Matrix rslt(A.N);
    rslt.unit();
    if(n == 0) return rslt;
    while(n)
    {
        if(n & 1) // 若幂为奇数
        {
            rslt = rslt * A;
        }
        A = A * A;
        n >>= 1; // 右位移等价于除以2
    }
    return rslt;
}