活动选择有关问题

问题描述：

设有n个活动的集合E={1,2,…,n}，其中每个活动都要求使用同一资源，如演讲会场等，而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。每个活动i都有一个要求使用该资源的起始时间si和一个结束时间fi,且si

。

从图中可以看出S中共有11个活动，最大的相互兼容的活动子集为:{a₁，a₄，a₈，a11，}和{a₂，a₄，a₉，a₁₁}。

2、动态规划解决过程

（1）活动选择问题的最优子结构

定义子问题解空间S_ij是S的子集，其中的每个获得都是互相兼容的。即每个活动都是在a_i结束之后开始，且在a_j开始之前结束。

为了方便讨论和后面的计算，添加两个虚构活动a₀和a_n+1，其中f₀=0，s_n+1=∞。

结论：当i≥j时，S_ij为空集。

如果活动按照结束时间单调递增排序，子问题空间被用来从S_ij中选择最大兼容活动子集，其中0≤i＜j≤n+1，所以其他的S_ij都是空集。

最优子结构为：假设S_ij的最优解A_ij包含活动a_k，则对S_ik的解A_ik和S_kj的解A_kj必定是最优的。

通过一个活动a_k将问题分成两个子问题，下面的公式可以计算出S_ij的解A_ij。

（2）一个递归解

　　设c[i][j]为S_ij中最大兼容子集中的活动数目，当S_ij为空集时，c[i][j]=0；当S_ij非空时，若a_k在S_ij的最大兼容子集中被使用，则则问题S_ik和S_kj的最大兼容子集也被使用，故可得到c[i][j] = c[i][k]+c[k][j]+1。

当i≥j时，S_ij必定为空集，否则S_ij则需要根据上面提供的公式进行计算，如果找到一个a_k，则S_ij非空（此时满足f_i≤s_k且f_k≤s_j），找不到这样的a_k，则S_ij为空集。

c[i][j]的完整计算公式如下所示：

亲测代码:

 1 #include  2 #define max_size 10010 3 int s[max_size]; 4 int f[max_size]; 5 int c[max_size][max_size]; 6 int ret[max_size][max_size]; 7  8 using namespace std; 9 10 void DP_SELECTOF(int *s,int *f,int n,int c[][max_size],int ret[][max_size])11 {12     int i,j,k;13     int temp;14     for(j=2;j<=n;j++)15         for(i=1;i)16         {17             for(k=i+1;k)18             {19                 if(s[k]>=f[i]&&f[k]<=s[j])20                 {21                     temp=c[i][k]+c[k][j]+1;22                     if(c[i][j]<temp)23                     {24                         c[i][j]=temp;25                         ret[i][j]=k;26                     }27                 }28             }29         }30 }31 32 int main()33 {34     int n;35     printf("输入活动个数 n: ");36     while(~scanf("%d",&n))37     {38         memset(c,0,sizeof(0));39         memset(ret,0,sizeof(ret));40         printf("\n输入活动开始以及结束时间\n");41         int i,j;42         for(i=1;i<=n;i++)43         {44             scanf("%d%d",&s[i],&f[i]);45         }46         DP_SELECTOF(s,f,n,c,ret);47         printf("最大子集的个数=%d\n",c[1][n]+2);48     return 0;49 }

下面是贪心法的代码：

 1 #include  2 #define max_size 10010 3 int s[max_size]; 4 int f[max_size]; 5 int ret[max_size]; 6 int c[max_size][max_size]; 7 using namespace std; 8  9 void GREEDY_ACTIVITY_SELECTOR(int *s,int *f,int n,int *ret)10 {11     int k,m;12     *ret++=1;13     k=1;14     for(m=2;m<=n;m++)15         if(s[m]>=f[k])16         {17             *ret++=m;18             k=m;19         }20 }21 int main()22 {23     int n;24     printf("输入活动个数 n: ");25     while(~scanf("%d",&n))26     {27         memset(s,0,sizeof(s));28         memset(f,0,sizeof(f));29         memset(c,0,sizeof(0));30         memset(ret,0,sizeof(ret));31         printf("\n输入活动开始以及结束时间\n");32         int i,j;33         for(i=1;i<=n;i++)34         {35             scanf("%d%d",&s[i],&f[i]);36         }37         GREEDY_ACTIVITY_SELECTOR(s,f,n,ret);38         for(i=0;i<=n;i++)39         {40             if(ret[i]!=0)41                 printf("a%d ",ret[i]);42         }43         printf("\n");44     }45 }