最大子序列跟算法分析

问题描述：给定n个整数序列{a1,a2,...,an},求函数f(i,j)=max{0,Σa_k}(k:连续的从i取到j);

问题即为求已连续子列和的最大值，若果最大值为负数则取0，比如8个数序列{-1,2，-3,4，-2,5，-8,3}，那摩最大子序列和为4+（-2）+5=7.

这个问题有四种不同复杂度的算法，算法1到四的时间复杂度是O(n³),O(n²),O(nlogn),O(n);

算法一：

最直接的方法是穷举法，列出所有的情况，我们可以设定子序列的左端i和右端j,再利用一层计算出a[i]到a[j]的和.

//最大子列和穷举法
#include
using namespace std;
int Find_Maxsun(int*a, int n);
int main(){
int n, i;
int a[100];
cin >> n;
cout << "Pleace Input The " << n << "Number:" << endl;
for (i = 0; i < n; i++)
cin >> a[i];
cout< return 0;
}
int Find_Maxsun(int*a, int n){
int MaxSun = 0, i, j, k;
int NowSum;
for (i = 0; i < n; i++) /*子序列左端*/
for (j = 0; j < n; j++){ /*子序列右端*/
NowSum = 0;
for (k = i; k <= j; k++)
NowSum += a[k]; /*从a[i]到a[j]的子序列*/
if (NowSum>MaxSun)
MaxSun = NowSum; /*更新结果*/
}
return MaxSun;
}

很显然，暴力法使用啦3重for循环，算法时间复杂度为O(n³)，这当然也是一个最笨的算法，但数据难非常庞大时候，哪怕是要算到死的节奏，我们可以清楚看到第三层for循环，

j每加一次，子列和都要重头算一次，那我们为何不去利用j-1的结果呢？也就是说我们将j-1的结果保存下来，在计算j步的结果时候，只需要在j-1步的基础上再加上a[j]，就可以啦，于是有啦算法二。

算法二：

#include
using namespace std;
int Find_Maxsun2(int*a, int n);
int main(){
int n, i;
int a[100];
cin >> n;
cout << "Pleace Input The " << n << " Number:" << endl;
for (i = 0; i < n; i++)
cin >> a[i];
cout << Find_Maxsun2(a, n) << endl;
return 0;
}
int Find_Maxsun2(int*a, int n){
int i, j, NewSum = 0, MaxSum= 0;
for (i = 0; i < n; i++){ /*为序列的左边端点*/
NewSum = 0;
for (j = i; j < n; j++){ /*j为系列右端点*/
NewSum += a[j]; /*每一次在j-1条件下更新NewSum*/
if (NewSum>MaxSum) /*更新MaxSum*/
MaxSum = NewSum;
}
}
return MaxSum;
}

这个算法比1聪明，算法复杂度是O(n²)，显然还不是我们想要的复杂度。

算法三：

算法三使用的是分治法的思想，基本思想不言而喻先分后治，将问题分解为小问题然后在可以总和小问题来解决，我们把原序列一分为二，那么最大子序列在左边，在右边，或者跨越边界，基本思路如下：

第一步：将原序列一分为二，分成左序列和右序列。

第二步：递归求出子序列S左和S右。

第三部：从中分线向两边扫描，找出跨越中线的最大子序列和S中。

第四步：求得S=max{S左，S中，S右}；

代码实现如下：

#include
using namespace std;
int Find_MaxSum3(int*a,int low,int high);
int Max(int a,int b,int c);
int main(){
int n, i;
int a[100];
cin >> n;
cout << "Pleace Input The " << n << " Number:" << endl;
for (i = 0; i < n; i++)
cin >> a[i];
cout << Find_MaxSum3(a,0,n-1) << endl;
return 0;
}
int Find_MaxSum3(int*a,int low,int high){
int MaxSum = 0, MidSum, LeftSum, RightSum,i;
MidSum = 0;
if (low == high){ /*递归的终止条件*/
if (a[low] > 0)
return a[low];
else
return 0;
}
int mid = (low + high) / 2; //找到分的中点
LeftSum = Find_MaxSum3(a, low, mid); /*递归找到左边序列最大和*/
RightSum = Find_MaxSum3(a, mid + 1, high); /*递归找到右边序列最大子序列和*/
/*然后可以求中间跨越边界序列的最大和*/
int NewLeft = 0,Max_BorderLeft=0, NewRight = 0,Max_BorderRight=0;
for (i = mid; i >= low; i--){ /*向左扫描找到最大和*/
NewLeft += a[i];
if (NewLeft > Max_BorderLeft)
Max_BorderLeft = NewLeft;
}
for (i = mid + 1; i <= high; i++){ /*向右扫描找到最大子序列和*/
NewRight+=a[i];
if (NewRight >= Max_BorderRight)
Max_BorderRight = NewRight;
}
MidSum = Max_BorderRight + Max_BorderLeft;
return Max(LeftSum, MidSum, RightSum); /*返回治的结果*/
}
int Max(int a, int b, int c){ /*找出3者中最大的数*/
if ( a>= b&&a >= c)
return a;
if (b >= a&&b >= c)
return b;
if (c >= b&&c>=a)
return c;
}

我们来算一算这个算法时间复杂度：

T(1)=1;

T(n)=2T(n/2)+O(n);

=2^kT(n/2^k)+kO(n)=2^kT(1)+kO(n)（其中n=2^k）=n+nlogn=O(nlogn);

虽然这个算法已经非常好啦，但是并不是最快的算法。

算法四：

算法四叫做在线处理。意思为，每读入一个数据就进行及时处理，得到的结果是对于当前读入的数据都成立，即为在任何位置终止读入，算法都可以给出正确的解，边读边解。

#include
using namespace std;
int Find_MaxSum4(int*a, int n);
int main(){
int n, i;
int a[100];
cin >> n;
cout << "Pleace Input The " << n << " Number:" << endl;
for (i = 0; i < n; i++)
cin >> a[i];
cout << Find_MaxSum4(a,n) << endl;
return 0;
}
int Find_MaxSum4(int*a, int n){
int i, NewSum = 0, MaxSum = 0;
for (i = 0; i < n; i++){
NewSum += a[i]; /*当前子序列和*/
if (MaxSum < NewSum)
MaxSum = NewSum; /*更新最大子序列和*/
if (NewSum < 0) /*小于0则抛弃*/
NewSum = 0;
}
return MaxSum;
}

这种算法是将读入的数据一个个扫描一遍，只有一个for循环，解决同一个问题算法差别大，在于一个窍门，让计算机记住一些关键的中间结果，避免重复计算。